الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $1$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $- 3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $4$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} | + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((3 - λ) (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

وسّع $(3 - λ) (5 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (3 - λ) (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.1

اضرب $3$ في $5$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

اطرح $5 λ$ من $- 3 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 8 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.1.3

اضرب $- 4$ في $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 8 λ + λ^{2} - 4) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.2

اطرح $4$ من $15$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 11) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.3.2.3

أعِد ترتيب $- 8 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (2 \cdot 4 - (- 3 (3 - λ)))$

خطوة 1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

اضرب $2$ في $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 3 (3 - λ)))$

خطوة 1.5.4.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 3 \cdot 3 - 3 (- λ)))$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اضرب $- 3$ في $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 9 - 3 (- λ)))$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 9 + 3 λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - - 9 - (3 λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 + 9 - (3 λ))$

خطوة 1.5.4.2.1.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 + 9 - 3 λ)$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $8$ و $9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (17 - 3 λ)$

خطوة 1.5.4.2.3

أعِد ترتيب $17$ و $- 3 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

أضف $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11)$ و $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.1

وسّع $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot 11 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.1

اضرب $- 8$ في $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot 11 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.2

اضرب $3$ في $11$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.2.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.6

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.2.7

اضرب $11$ في $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.3

أضف $3 λ^{2}$ و $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 11 λ - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.4

اطرح $11 λ$ من $- 24 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} - 1 (- 3 λ + 17)$

خطوة 1.5.5.2.5

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot 17$

خطوة 1.5.5.2.6

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} + 3 λ - 1 \cdot 17$

خطوة 1.5.5.2.7

اضرب $- 1$ في $17$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} + 3 λ - 17$

خطوة 1.5.5.3

أضف $- 35 λ$ و $3 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 32 λ + 33 - λ^{3} - 17$

خطوة 1.5.5.4

اطرح $17$ من $33$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 16$

خطوة 1.5.5.5

انقُل $- 32 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} - 32 λ + 16$

خطوة 1.5.5.6

أعِد ترتيب $11 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16 = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

حلّل $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

خطوة 1.7.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

خطوة 1.7.1.3

عوّض بـ $4$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $4$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.3.1

عوّض بـ $4$ في متعدد الحدود.

$- 4^{3} + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

خطوة 1.7.1.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- 1 \cdot 64 + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

خطوة 1.7.1.3.3

اضرب $- 1$ في $64$ .

$- 64 + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

خطوة 1.7.1.3.4

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- 64 + 11 \cdot 16 - 32 \cdot 4 + 16$

خطوة 1.7.1.3.5

اضرب $11$ في $16$ .

$- 64 + 176 - 32 \cdot 4 + 16$

خطوة 1.7.1.3.6

أضف $- 64$ و $176$ .

$112 - 32 \cdot 4 + 16$

خطوة 1.7.1.3.7

اضرب $- 32$ في $4$ .

$112 - 128 + 16$

خطوة 1.7.1.3.8

اطرح $128$ من $112$ .

$- 16 + 16$

خطوة 1.7.1.3.9

أضف $- 16$ و $16$ .

$0$

خطوة 1.7.1.4

بما أن $4$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $λ - 4$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16}{λ - 4}$

خطوة 1.7.1.5

اقسِم $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ على $λ - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$λ$

$4$

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$32 λ$

$16$

خطوة 1.7.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- λ^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$

خطوة 1.7.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- λ^{3} + 4 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$

خطوة 1.7.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$

خطوة 1.7.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $7 λ^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$

خطوة 1.7.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$

خطوة 1.7.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $7 λ^{2} - 28 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$

خطوة 1.7.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$

خطوة 1.7.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$

خطوة 1.7.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 λ$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$

خطوة 1.7.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							-	$4 λ$	+	$16$

خطوة 1.7.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 λ + 16$

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							+	$4 λ$	-	$16$

خطوة 1.7.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							+	$4 λ$	-	$16$
										$0$

خطوة 1.7.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$- λ^{2} + 7 λ - 4$

خطوة 1.7.1.6

اكتب $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(λ - 4) (- λ^{2} + 7 λ - 4) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ - 4 = 0$

$- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة العبارة $λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

عيّن قيمة $λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 4 = 0$

خطوة 1.7.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 4$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $- λ^{2} + 7 λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $- λ^{2} + 7 λ - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.7.4.2.2

عوّض بقيم $a = - 1$ و $b = 7$ و $c = - 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 4)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.7.4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 4}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 1 \cdot - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 4}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.2.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 16}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.3

اطرح $16$ من $49$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{- 2}$

خطوة 1.7.4.2.3.3

بسّط $\frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{- 2}$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}$

خطوة 1.7.4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ - 4) (- λ^{2} + 7 λ - 4) = 0$ صحيحة.

$λ = 4, \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $- 4$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $- 4$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $- 4$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 3 - 4 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اطرح $4$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.3

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.4

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.5

اطرح $4$ من $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.6

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.7

أضف $- 3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.8

أضف $4$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - 4 \end{array}]$

خطوة 3.2.3.9

اطرح $4$ من $5$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 & 1 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - - 1 & - 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ - z \\ z \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.2.2

اضرب $0$ في $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3

اضرب $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.3.2

اضرب $0$ في $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4

اضرب $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.4.2

اضرب $0$ في $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6

اضرب $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.6.2

اضرب $0$ في $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7

اضرب $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.7.2

اضرب $0$ في $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8

اضرب $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.8.2

اضرب $0$ في $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.4.1

اضرب $3$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4.4

اطرح $7$ من $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.10

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.11

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.12

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.13

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.15.1

اضرب $3$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.15.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.15.4

اطرح $7$ من $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.16

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.17

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - (\sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.18

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.20

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.21

أضف $- 3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.22

أضف $4$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.23

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.24

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.25

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.26

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.26.1

اضرب $5$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - (7 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.26.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.26.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.26.4

اطرح $7$ من $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} (- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot - 1 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (- \frac{1 - \sqrt{33}}{16}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} + 3 (- \frac{1 - \sqrt{33}}{16}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} (- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} - 4 \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} z = 0$

$y + \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} z = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{16} - \frac{z \sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21 z}{64} + \frac{5 \sqrt{33} z}{64} \\ z \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.2

اضرب $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.2.2

اضرب $0$ في $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.3

اضرب $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.3.2

اضرب $0$ في $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.4

اضرب $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.4.2

اضرب $0$ في $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.6

اضرب $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.6.2

اضرب $0$ في $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.7

اضرب $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.7.2

اضرب $0$ في $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.8

اضرب $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.8.2

اضرب $0$ في $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

خطوة 5.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.2

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.4.1

اضرب $3$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 - - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4.4

اضرب $- - \sqrt{33}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.4.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4.4.2

اضرب $\sqrt{33}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4.5

اطرح $7$ من $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.9

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.10

أضف $- 1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.11

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.12

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.13

اجمع $3$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.15.1

اضرب $3$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.15.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.15.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 - - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.15.4

اضرب $- - \sqrt{33}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.15.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.15.4.2

اضرب $\sqrt{33}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.15.5

اطرح $7$ من $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.16

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.17

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.18

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.20

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.21

أضف $- 3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.22

أضف $4$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.23

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.24

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.25

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.26

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.26.1

اضرب $5$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - (7 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.26.2

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.26.3

اضرب $- 1$ في $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.26.4

اضرب $- - \sqrt{33}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.26.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.26.4.2

اضرب $\sqrt{33}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.26.5

اطرح $7$ من $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

خطوة 5.3

Find the null space when $λ = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} (- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot - 1 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (- \frac{1 + \sqrt{33}}{16}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} + 3 (- \frac{1 + \sqrt{33}}{16}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} (- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} - 4 \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} z = 0$

$y + \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} z = 0$

$0 = 0$

خطوة 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{16} + \frac{z \sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21 z}{64} - \frac{5 \sqrt{33} z}{64} \\ z \end{array}]$

خطوة 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$